8. 根空间分解

Deepseek 生成的知识点总结

8.1 极大环面子代数与根（Maximal Toral Subalgebras and Roots）

根空间分解
- $L$ 可分解为极大环面子代数 $H$ 与根空间 $L_{α}$ 的直和： $L = H \oplus ⨁_{α \in Φ} L_{α},$ 其中 $Φ \subseteq H^{*}$ 是非零根的集合，且每个根空间 $L_{α} = {x \in L ∣ [h, x] = α (h) x, \forall h \in H}$ 。
根空间的性质
- 若 $α, β \in H^{*}$ ，则 $[L_{α}, L_{β}] \subseteq L_{α + β}$ 。
- 若 $α \neq 0$ 且 $x \in L_{α}$ ，则 ${ad}_{x}$ 是幂零的。
- 若 $α + β \neq 0$ ，则 $L_{α}$ 与 $L_{β}$ 在 Killing 形式下正交： $κ (L_{α}, L_{β}) = 0$ 。

8.2 H 的中心化子（Centralizer of H）

自中心化性
- $C_{L} (H) = H$ ，即 $H$ 是其自身的中心化子，且是极大阿贝尔子代数。
- 推论： $H$ 中无非零幂零元素，且 $H$ 的 Killing 形式限制是非退化的。

8.3 正交性质（Orthogonality Properties）

根的对偶性
- 对每个根 $α \in Φ$ ，存在唯一元素 $t_{α} \in H$ ，使得 $α (h) = κ (t_{α}, h)$ 对所有 $h \in H$ 成立。
- 定义 $h_{α} = \frac{2 t_{α}}{κ (t_{α}, t_{α})}$ ，则 $h_{α}$ 满足： $[h_{α}, x_{α}] = 2 x_{α}, [h_{α}, y_{α}] = - 2 y_{α}, [x_{α}, y_{α}] = h_{α},$ 其中 $x_{α} \in L_{α}$ 、 $y_{α} \in L_{- α}$ ，生成与 ${sl}_{2} (F)$ 同构的三维子代数。
根的对称性
- 若 $α \in Φ$ ，则 $- α \in Φ$ ，且 $L_{- α}$ 是 $L_{α}$ 的对偶空间。

8.4 整性性质（Integrality Properties）

根空间的维度
- 每个根空间 $L_{α}$ 是 1 维的，且若 $α \in Φ$ ，则 $c α \in Φ ⟹ c = \pm 1$ 。
Cartan 整数
- 对任意 $α, β \in Φ$ ，有 $β (h_{α}) \in Z$ ，称为 Cartan 整数，且满足： $β (h_{α}) = \frac{2 (β, α)}{(α, α)},$ 其中 $(β, α) = κ (t_{β}, t_{α})$ 。
根链（Root String）
- 对 $α, β \in Φ$ 且 $β \neq \pm α$ ，存在最大整数 $r, q \geq 0$ 使得： $β - r α, β - (r - 1) α, \dots, β + q α \in Φ,$ 且 $β (h_{α}) = r - q$ 。
不可约性
- 根链中所有 $β + k α (k \in Z)$ 的权空间均为 1 维，且根链的权值成等差数列。

8.5 理性性质与总结（Rationality Properties. Summary）

有理生成空间
- 根集 $Φ$ 生成有理向量空间 $E_{Q} = {span}_{Q} (Φ)$ ，其实数化 $E = R \otimes_{Q} E_{Q}$ 是欧几里得空间，配备正定的 Killing 形式。
根系的公理化性质
$Φ$ 构成一个 根系（Root System），满足以下公理：
1. 有限性： $Φ$ 有限且不包含零向量。
2. 生成性： $Φ$ 张成 $E$ 。
3. 对称性：若 $α \in Φ$ ，则 $- α \in Φ$ ，且无其他标量倍根。
4. 反射不变性：对任意 $α, β \in Φ$ ，有 $β - \frac{2 (β, α)}{(α, α)} α \in Φ .$
5. 整性条件： $\frac{2 (β, α)}{(α, α)} \in Z$ 。
几何意义
- 根的反射操作 $s_{α} (β) = β - β (h_{α}) α$ 保持根系 $Φ$ 的完整性。
- 根系的结构（如 Dynkin 图）唯一决定了半单李代数的同构类。

总结

根空间分解是半单李代数结构的核心框架，揭示了其对称性与局部 ${sl}_{2}$ -子代数的普遍存在性。
根系 $Φ$ 的几何性质（反射、整性、不可约性）为分类半单李代数（通过 Dynkin 图）提供了严格工具。
Cartan 整数 和根链的整性条件是根系反射对称性的代数体现，也是后续表示论与分类理论的基础。

正文．

在这一章中， $L$ 约定为一非零半单李代数，我们准备从伴随表示角度研究 $L$ 的结构细节，最主要的研究工具是 Killing form 及定理6.4（抽象Jordan分解与线性Jordan分解的关系））及定理7.2（不可约sl_2(F)-模的分类） ——这些定理都是 Weyl 定理的重要结果．读者应记住最重要的特殊情况 $L = {sl}_{2} (F)$ ，或更一般的 $L = {sl}_{n} (F)$ 的情况，来指引接下来要做什么．

极大环面子代数与根

环面子代数（toral subalgebra）

回忆： $L$ 是幂零的，当且仅当其所有元素是伴随表示幂零的（Engel定理）；若 $L$ 不是幂零的（而是半单的），我们可以找到 $x \in L$ 使得其在抽象 Jordan 分解中的半单部分 $x_{s}$ 是非零的．这说明 $L$ 中有非零的子代数（例如，由这些 $x_{s}$ 生成的子代数），包含这些半单元素．

定义：环面子代数（toral subalgebra）

称 $L$ 是环面子代数（toral subalgebra），若其所有元素均为半单的．

如下的引理与 Engel 定理很相似：

引理：环面子代数是平凡的

若 $L$ 是环面子代数，则 $L$ 是 Abel 代数．

证明： 令 $T$ 是环面子代数，我们只需说明 ${ad}_{T} x = 0$ ， $\forall x \in T$ ．由于 $ad x$ 可对角化（ $ad x$ 半单且 $F$ 代数闭），这等价于说明 ${ad}_{T} x$ 无非零特征值．

假设 ${ad}_{T} x$ 有非零特征值 $a$ ，使得存在非零特征向量 $y$ 使 $[x, y] = {ad}_{T} x (y) = a y$ ，则 ${ad}_{T} y (x) = - a y$ ．注意 ${ad}_{T} (y)$ 有零特征值的向量 $y$ ，且 $x$ 可表示为 ${ad}_{T} y$ 的一系列特征向量的线性组合（ ${ad}_{T} y$ 半单且 $F$ 代数闭，特征向量张成整个空间），于是

x = a_{0} y + a_{1} v_{1} + \dots a_{k} v_{k}, [y, v_{i}] = λ_{i} v_{i}

两侧用 ${ad}_{T} y$ 作用得

- a y = a_{1} λ_{1} v_{1} + \dots + a_{k} λ_{k} v_{k},

即 $y$ 与其余特征向量线性相关，矛盾！ $◻$

全体极大环面子代数在包含关系下有极大元：

定义：极大环面子代数（maximal toral subalgebra）

若环面子代数 $H$ 不包含在其它真环面子代数中，则称其为极大环面子代数．

笔者注：Cartan 子代数（Cartan subalgebra, CSA）

在 $L$ 半单的情况下，极大环面子代数与 Cartan 子代数（Cartan subalgebra, CSA） 等价，后者是一个更常用的名字．其定义为：
设 $L$ 为李代数，若 $H$ 为 L 的幂零子代数，并且等于其正规化子

H = C_{L} (H) = {x \in L : [x, H] \subset H}

则定义称 $H$ 为 $L$ 的Cartan 子代数．
后面会证明，对半单的情形，Cartan 子代数就是极大环面子代数．

极大环面子代数对定义根系非常重要，因此其计算需要注意．

例子：

{sl}_{n} (F)

的极大环面子代数

第一章中提到， ${sl}_{n} (F)$ 的一组基是

{e_{i j} : 1 \leq i \neq j \leq n} \cup {e_{i i} - e_{j j} : 1 \leq i < j \leq n} .

如果设 $H = {span}_{F} {e_{i i}, e_{j j} : 1 \leq i < j \leq n}$ ，则 $H$ 的各元素均为半单的（对角阵）．另一方面，注意到 $H$ 由 ${sl}_{n} (F)$ 所有对角基张成，因此其包含 ${sl}_{n} (F)$ 中全体对角阵，若另一子代数 $T$ 满足 $H ⪇ T$ ，则 $T$ 中必包含某非对角阵 $x$ ，从而 $x$ 非半单元，这就说明 $T$ 不是环面子代数．结论： $H$ 是极大环面子代数．

根、根系与根空间分解（Cartan 分解）

现固定一个极大环面子代数 $H < L$ ．由于 $H$ 是 Abel 的， ${ad}_{L} H \subset gl (L)$ 由 $L$ 中一系列两两可换的半单同态组成，线性代数的定理表明其可同时对角化：即 $L$ 存在一组基 $x_{1}, \dots, x_{i}$ 使得 $[H, x_{i}] \subset F x_{i}$ ．因此， $L$ 可表示为如下子空间直和：

L_{α} := {x \in L : [h, x] = α (h) x, \forall h \in H} .

这里 $α \in H^{*}$ ．注意到 $L_{0}$ 就是 $C_{L} (H)$ ，上述引理表明 $H < C_{L} (H) = L_{0}$ ．

当然，对任意的 $α \in H^{*}$ ，许多 $L_{α}$ 其实是零空间；那些非零空间才是我们想关注的．记 $$\Phi:={\alpha\in H^*:L_\alpha\neq 0}$$
则 $Φ$ 中的 $α$ 才是有效的．这一 $Φ$ 称为根系．

定义：根 (root）、根空间（root space）与根系（root system）

对 $L$ 为非零半单李代数， $H$ 为其极大环面李代数， $α \in H^{*}$ 为 $H$ 上线性泛函，使得空间

L_{α} := {x \in L : [h, x] = α (h) x, \forall h \in H}

非零，则称 $α$ 是 $L$ 的一个 根（root），对应的空间 $L_{α}$ 称为 根空间（root space），其集合

Φ := {α \in H^{*} : L_{α} \neq 0}

称为 $L$ 的 根系（root system）．

结合上面的事实，我们有：

定理：根空间分解（root space decomposition）／Cartan 分解（Cartan decomposition）

设 $Φ$ 为半单李代数 $L$ 的根系，则 $L$ 可分解为如下的子空间直和，称为 根空间分解（root space decomposition） 或 Cartan 分解（Cartan decomposition）：

L = C_{L} (H) \oplus ⨁_{α \in Φ} L_{α} .

这里 $C_{L} (H)$ 为 $H$ 在 $L$ 中的中心化子．

极大环面子代数的性质

在以下的章节中，我们将证明一个极其重要的性质，这在先前的笔者注中提到过：

性质：极大环面子代数与其中心化子相等

$H = C_{L} (H)$ ．

这一性质将用于进一步解释根的性质，最终得出根系可将半单李代数完全刻画出来的结论．

我们先从几个观察开始：

命题：根空间的一些重要性质

根空间的“李括号在相加之中”：对任意 $α, β \in H^{*}$ ，有 $[L_{α}, L_{β}] \subset L_{α + β}$ ；
根空间伴随表示幂零：若 $x \in L_{α}$ ， $α \neq 0$ ，则 $ad x$ 幂零；
不同的根空间在 Killing form 意义下正交：若 $α, β \in H^{*}$ ，且 $α \neq - β$ ，则 $κ (L_{α}, L_{β}) = 0$ ，这里 $κ$ 是 $L$ 中的 Killing form．

证明： 第一问．由 Jacobi 等式，

[h, [x, y]] = [[h, x], y] + [x, [h, y ∥ h, x], y] + [x, [h, y]] = α (h) [x, y] + β (h) [x, y] = (α + β) (h) [x, y] .

第二问．由于根有且仅有有限个（ $L$ 有限维），因此存在 $n$ 使对任意 $β \in Φ \cup {0}$ ， $n α + β$ 既非根又非零，由上一问就有

(ad x)^{n} (u) = [x, [x, [\dots [x, u] \dots]]] \overset{u \in L_{β}}{\in} L_{n α + β} = 0.

从而 $ad x$ 幂零．

第三问．取 $h \in H$ 使 $(α + β) (h) \neq 0$ ．若 $x \in L_{α}$ ， $y \in L_{β}$ ，则由 Killing form 的结合性得

κ ([h, x], y) = - κ ([x, h], y) = - κ (x, [h, y])

但 $x \in L_{α}, y \in L_{β}$ ，因此 $[h, x] = α (h) x, [h, y] = β (h) y$ ，因此

α (h) κ (x, y) = - β (h) κ (x, y) \Rightarrow (α + β) (h) κ (x, y) = 0

这就说明 $κ (x, y) = 0$ . $◻$

推论：Killing form 限制在

C_{L} (H)

上非退化

设 $L$ 半单， $H$ 为极大环面子代数， $L_{0} = C_{L} (H)$ ，则 $κ |_{L_{0}}$ 非退化．

证明： $L$ 半单，故 $κ$ 非退化．又 $L_{0}$ 与全体 $L_{α}$ 正交（由命题）若 $z \in L_{0}$ 与 $L_{0}$ 正交，由根空间分解知 $κ (z, L) = 0$ ，这要求 $z = 0$ .，这就说明 $κ |_{L_{0}}$ 也非退化． $◻$

有以上准备后，我们就可以证明极大环面子代数与其中心化子相等的性质了．我们先证明一个线性代数的引理：

线性代数引理

设 $x, y$ 为有限维线性空间上可交换的线性同态， $y$ 幂零，则 $x y$ 幂零；特别地， $tr (x y) = 0$ ．

证明： $(x y)^{n} = x^{n} y^{n} = 0$ . $◻$

定理：极大环面子代数与其中心化子相等

$H = C_{L} (H)$ ．

证明： 记 $C = C_{L} (H)$ ，分为如下几步走：

第一步： $C$ 包括其元素的半单及幂零部分． $x \in C_{L} (H)$ 蕴含 $ad x (H) = 0$ ，由 Jordan分解保持像空间的性质， $(ad x)_{s}$ 与 $(ad y)_{s}$ 同样将 $H$ 映为 $0$ ．但由抽象Jordan分解的定义， $(ad x)_{s} = ad x_{s}$ ， $(ad x)_{n} = ad x_{n}$ ，这就说明 $x_{s}, x_{n} \in C_{L} (H)$ ．

第二步： $C$ 中半单元素均在 $H$ 中． 若 $x$ 为 $H$ 的半单中心化元，则 $H + F x$ 是环面子代数：可换的半单元素之和也是半单的（注意 $x$ 半单元素定义为 $ad x$ 是半单同态；若 $x, y$ 可换，则 $ad x$ 与 $ad y$ 半单且可换——注意 Jacobi 等式给出 $[ad x, ad y] (u) = ad [x, y] (u)$ ，则它们可以同时对角化，从而 $ad (x + y)$ 是半单的，故 $x + y$ 也是半单的）．但 $H$ 极大，故 $H + F x \leq H$ ，从而 $x \in H$ ．

第三步： $κ$ 限制在 $H$ 上非退化． 只需证若 $h \in H$ ， $κ (h, H) = 0$ 则 $h = 0$ ．我们证明一个Claim：

Claim

若 $x \in C$ 幂零，则 $κ (x, H) = 0$ ．

Claim 的证明． 由 $x \in C$ 幂零，则 $ad x$ 幂零；又 $[x, H] = 0$ ，故对任意 $y \in H$ 有 $ad y (x) = 0$ ．因此对 $y \in H$ 有 $tr (ad x ad y) = 0$ ，即 $κ (x, H) = 0$ ． $#$

附注：更强的结论

更进一步：我们证明 $κ (x, C) = 0$ ．对任意 $y \in C$ ，作 Jordan 分解 $y = y_{s} + y_{n}$ ，由 Killing form 的双线性知

κ (x, y) = κ (x, y_{s}) + κ (x, y_{n}) .

第一步表明 $y_{s}, y_{n} \in C$ ，第二步表明 $y_{s} \in H$ ，于是一方面 $x$ 与 $y_{s}$ 可换，另一方面 $κ (x, y_{s}) = 0$ ．此外，由第二步知由 $ad y_{n}$ 幂零、 $x$ 与 $y$ 可换，线性代数引理给出 $ad x ad y_{n}$ 幂零，因此 $κ (x, y_{n}) = tr (ad x ad y_{n}) = 0$ ．因此 $κ (x, y) = 0$ ，从而 $κ (x, C) = 0$ ．

回到原题． 由 Claim 可知，若 $h \in H$ ，则 $h$ 与 $C$ 中幂零元在 $κ$ 意义下均正交．因此对任意 $y \in C$ ，作 Jordan 分解 $y = y_{n} + y_{s}$ ，第二步表明 $y_{s} \in H$ ，因此

κ (h, y) = κ (h, y_{n}) + κ (h, y_{s}) = 0.

从而 $h$ 与 $C$ 中任一元素均 $κ -$ 正交，即 $κ (h, C) = 0$ ．但 $κ$ 在 $C$ 上不退化（上述推论），因此 $h = 0$ ．故 $κ$ 在 $H$ 上也不退化．

第四步： $C$ 幂零． 若 $x \in C$ 半单，第二步表明 $x \in H$ ，故 ${ad}_{C} x \in [C, x] \subset [C, H] = 0$ 当然是幂零的．若 $x \in C$ 幂零， ${ad}_{C} x$ 当然也幂零．最后若 $x \in C$ 任意，则 ${ad}_{C} x = {ad}_{C} x_{s} + {ad}_{C} x_{n} = {ad}_{C} x_{n}$ ，仍然幂零．由 Engel定理， $C$ 幂零．

第五步： $H \cap [C, C] = 0$ ． $κ$ 结合， $[H, C] = 0$ ，故 $κ (H, [C, C]) = 0$ ．但第三步说明 $[C, C]$ 不包含 $H$ 的非零元，否则由非退化性得到 $κ (H, H \cap [C, C]) \neq 0$ ，矛盾．

第六步： $C$ 是 Abel 的． 否则 $[C, C] \neq 0$ ．第四步已知 $C$ 幂零，且 $Z (C) \cap [C, C] \neq 0$ （参见这个命题）．设 $z \neq 0$ 为 $Z (C) \cap [C, C]$ 的一个元素，由第二步和第五步知 $z$ 不能是半单的：否则落在 $H$ 中，故落在 $H \cap [C, C]$ 中，故只能为 $0$ ．因此其幂零部分 $z_{n}$ 是非零的，第一步说明其位于 $C$ 中，再由 Jordan分解保持像空间的性质知其位于 $Z (C)$ 中，因此其与 $C$ 中元素可换，且 $ad z_{n}$ 与 $ad C$ 中元素可换．但第四步说明对 $y \in C$ ， $ad y$ 幂零，线性代数引理给出 $ad z_{n} ad y$ 幂零，故 $κ (z_{n}, y) = tr (ad z_{n} ad y) = 0$ ，从而 $κ (z_{n}, C) = 0$ . 但 $z_{n} \in C$ ，推论表明 $κ (z_{n}, C) \neq 0$ ，矛盾！

第七步： $C = H$ ． 否则由第一、二步， $C$ 中含有一个非零的伴随表示幂零元 $x$ ．第六步表明 $[{ad}_{L} x, {ad}_{L} y] = 0$ ， $\forall y \in C$ ，线性代数引理给出 $κ (x, y) = 0$ ．故 $κ (x, C) = 0$ ，但推论表明 $κ (x, C) \neq 0$ ，矛盾！ $◻$

推论：Killing form 限制在极大环面子代数上非退化

$κ |_{H}$ 非退化．

附注：通过

H^{*}

来辨别

H

上述推论表明，可以通过 $H^{*}$ 来辨别 $H$ ，因为

{κ (h, \cdot) : h \in H} = H^{*} .

对 $φ \in H^{*}$ ，记 $t_{φ}$ 为使 $φ (h) = κ (t_{φ}, h), \forall h \in H$ 的元，这就将 $Φ$ 对应到 $H$ 的子集 ${t_{α} : α \in Φ}$ ．

正交性（Orthogonality property）

在这一节中，我们将通过 Killing form获得有关根空间分解的更多细节．我们已经知道，当 $α + β \neq 0$ 时 $L_{α}$ 与 $L_{β}$ 是 $κ -$ 正交的；特别地， $κ (H, L_{α}) = 0$ ， $\forall α \in Φ$ ，以致 $κ$ 在 $H$ 上的限制是非退化的．

？我怎么看不懂这句英文

性质：

Φ

的正负对应根

（根是极大环面子代数的基） $Φ$ 张成 $H^{*}$ ；
（非零根一定正负成对出现） $α \in Φ \Rightarrow - α \in Φ$ ；
（正负非零根空间元素的李括号）若 $α$ 为根， $x \in L_{α}$ ， $y \in L_{- α}$ ，则
$[x, y] = κ (x, y) t_{α},$
这里 $t_{α}$ 为使 $\forall h \in H, α (h) = κ (t_{α}, h)$ 的元，或“ $κ$ 意义下将 $α$ 作为 Riesz 表示的向量”；
（正负非零根李括号仅张成一维代数）若 $α$ 为根，则 $[L_{α}, L_{- α}]$ 为以 $t_{α}$ 为基的一维代数；
若 $α$ 为根，则 $α (t_{α}) = κ (t_{α}, t_{α})$ 非零；
（神秘 ${sl}_{2} (F)$ ）若 $α$ 为根， $x_{α} \in L_{α}$ 非零，则存在 $y_{α} \in L_{- α}$ 使得 $x_{α}, y_{α}, h_{α} = [x_{α}, y_{α}]$ 张成三维单李代数 $L$ ，且 $L ≅ {sl}_{2} (F)$ 通过 $x_{α} \mapsto x$ ， $y_{α} \mapsto y$ ， $h_{α} \mapsto h$ ．
$h_{α} = \frac{2 t_{α}}{κ (t_{α}, t_{α})}$ ； $h_{α} + h_{- α} = 0$ ．

证明： 暂略．

附注：6 的构造

对任意 $0 \neq x_{α} \in L_{α}$ ，取 $y_{α}$ 使得

κ (x_{α}, y_{α}) = \frac{2 t_{α}}{κ (t_{α}, t_{α})}

再取 $h_{α} = \frac{2 t_{α}}{κ (t_{α}, t_{α})}$ ，则 $x_{α} \mapsto x$ ， $y_{α} \mapsto y$ ， $h_{α} \mapsto h$ 给出其张成的李代数到 ${sl}_{2} (F)$ 的一个同构．

整性（Integrality properties）

对任一对根 $α, - α$ ，令 $S_{α} ≅ {sl}_{2} (F)$ 为由上述附注构造的一个子代数，由 Weyl定理及不可约模的权空间刻画定理，对 $S_{α} -$ 模，我们有如下的性质：

命题：整性

设 $α$ 为根， $h_{α}$ 由上面的命题给出．

若 $α$ 为根，则 $\dim L_{α} = 1$ ；特别地， $S_{α} = L_{α} + L_{- α} + H_{α}$ ，这里 $H_{α} = F t_{α} = [L_{α}, L_{- α}]$ ，且对于任意非零 $x_{α} \in L_{α}$ ，都存在 $y_{α} \in L_{- α}$ 使 $h_{α} = [x_{α}, y_{α}]$ ．
若 $α$ 为根，其常数倍 $k α$ 也为根，则 $k = \pm 1$ ．
若 $α, β$ 为根，则 $β (h_{α}) \in Z$ ，且 $β - β (h_{α}) α \in Φ$ ．称 $β (h_{α})$ 为 Cartan 整数（Cartan integers）．
若 $α, β, α + β \in Φ$ ，则 $[L_{α}, L_{β}] = L_{α + β}$ ．
若 $α, β \in Φ$ ， $β \neq \pm α$ ，令 $r, q$ 分别为使 $β - r α$ 、 $β + q α$ 为根的最大正整数，则全体 $β + i α, - r \leq i \leq q$ 均为根，且 $β (h_{α}) = r - q$ ，
$L$ 作为李代数由其根空间生成．

有理性（Rationality property）

设 $L$ 为特征 0 代数闭域上半单李代数， $H$ 为一极大环面子代数， $Φ \subset H^{*}$ 为 $L$ 的根系（关于 $H$ ），上述已经证明

L = H \oplus ⨁_{α \in Φ} L_{α}

为根空间分解．

由于 $κ |_{H}$ 非退化，我们可以将其形式转移到 $H^{*}$ 上，通过如下的“内积”：

记号约定：内积

对 $α, β \in H^{*}$ ，定义内积 $(α, β) := κ (t_{α}, t_{β})$ ．

在这一内积下，我们有

β (h_{α}) = β (\frac{2 t_{α}}{κ (t_{α}, t_{α})}) = \frac{2 β (t_{α})}{κ (t_{α}, t_{α})} = \frac{2 κ (t_{β}, t_{α})}{κ (t_{α}, t_{α})} = \frac{2 (β, α)}{(α, α)} \in Z .

命题：任一根可表示为根形式的基的有理线性组合

取 $H^{*}$ 的一组作为根的基 ${α_{i}}_{i = 1}^{l}$ ．若 $β$ 为根，则我们可将 $β$ 写为 $\sum c_{i} α_{i}$ ，这里 $c_{i} \in Q$ ．

证明： 这是因为 $c_{1}, \dots, c_{n}$ 是如下方程组的根：

(\frac{2 (β, α_{1})}{(α_{1}, α_{1})}, \dots, \frac{2 (β, α_{l})}{(α_{l}, α_{l})}) = (c_{1}, \dots, c_{l}) (\begin{matrix} \frac{2 (α_{1}, α_{1})}{(α_{1}, α_{1})} & \frac{2 (α_{1}, α_{2})}{(α_{2}, α_{2})} & \dots & \frac{2 (α_{1}, α_{l})}{(α_{l}, α_{l})} \\ \frac{2 (α_{2}, α_{1})}{(α_{1}, α_{1})} & \frac{2 (α_{2}, α_{2})}{(α_{2}, α_{2})} & \dots & \frac{2 (α_{2}, α_{l})}{(α_{l}, α_{l})} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ \frac{2 (α_{l}, α_{1})}{(α_{1}, α_{1})} & \frac{2 (α_{l}, α_{2})}{(α_{2}, α_{2})} & \dots & \frac{2 (α_{l}, α_{l})}{(α_{l}, α_{l})} \end{matrix}) .

这里右边全是整数，左侧也全是整数，因此方程的解落在 $Q$ 中．注意由于 $α_{i}$ 张成 $H^{*}$ 且 Killing form 非退化， $((α_{i}, α_{j}))$ 非奇异，因此右侧矩阵也是非奇异的．结论：这样的解唯一且落在 $Q$ 中． $◻$

令 $E_{Q} = {span}_{Q} Φ$ ，则 $E_{Q}$ 是 $H^{*}$ 的一个 $Q -$ 子空间，其 $Q -$ 维数为 $\dim_{Q} (E_{Q}) = l = \dim_{F} (H^{*})$ ．更进一步，我们有“Parseval 等式”

(λ, μ) = κ (t_{λ}, t_{μ}) = tr (ad t_{λ} ad t_{μ}) \overset{⋆}{=} \sum_{α \in Φ} α (t_{λ}) α (t_{μ}) = \sum_{α \in Φ} (α, λ) (α, μ) .

这里的 $\overset{⋆}{=}$ 是因为 $ad t_{λ}$ 作用于 $L_{α}$ 相当于乘上标量 $α (t_{λ})$ ，且 $ad t_{λ} (H) = 0$ ．

特别地，我们有

(β, β) = \sum_{α} (α, β)^{2} .

两边同时除以 $\frac{(β, β)^{2}}{4}$ ，得到

\frac{4}{(β, β)} = \sum_{α \in Φ} \frac{4 (α, β)^{2}}{(β, β)^{2}} .

右端是一系列整数的平方和．这就说明 $(β, β) \in Q_{> 0}$ ，且 $(a, b) \in Q$ ．因此 $E_{Q}$ 中的所有向量的内积都是有理的，故我们得到 $E_{Q}$ 上一个非退化形式．注意 $(λ, λ) = \sum_{α} (α, λ)^{2} > 0$ ，因此这一形式是正定的．

现设 $E$ 是一个实向量空间，其通过将 $E_{Q}$ 的基域改为 $R$ 得到，即

E = R \otimes_{Q} E_{Q} .

且 $E_{Q}$ 上内积典范地延伸到 $E$ 上，也是正定的．则 $E$ 是一个欧氏空间，其基在 $Φ$ 内，且 $\dim_{R} E = l$ ．下面的定理总结了关于半单李代数 $L$ 的根系 $Φ$ 的一些基本事实：

定理

设 $L$ 是一个半单李代数，基域 $F$ 为特征 0 代数闭域， $H$ 为 $L$ 的一个极大环面子代数， $Φ \in H^{*}$ 为 $L$ 关于 $H$ 的根系，则

L = H \oplus ⨁_{α \in Φ} L_{α}

为根空间分解，且 $E = R \otimes ({span}_{Q} {α : α \in Φ})$ ．则

$Φ$ 有限、张成 $E$ ，且 $0 \notin Φ$ ；
若 $α \in Φ$ 则 $- α \in Φ$ ，但无其它的倍数；
若 $α, β \in Φ$ ，则 $β - \frac{2 (β, α)}{(α, α)} α \in Φ$ ；
若 $α, β \in Φ$ ，则 Cartan 整数 $\frac{2 (α, β)}{(α, α)} \in Z$ ．

笔者注：根系的计算

我们来试试计算 ${sl}_{3} (F)$ 的根系．

例子：计算

{sl}_{3} (F)

的根系

$L = {sl}_{3} (F)$ 的一组基为

e_{12}, e_{13}, e_{23}, e_{21}, e_{31}, e_{32}, e_{11} - e_{22}, e_{11} - e_{33} .

取极大环面子代数为 $H = {span}_{F} (e_{11} - e_{22}, e_{11} - e_{33})$ ．
设 $α \in H^{*}$ 为根，则其对应的根空间为

L_{α} := {x \in L : [h, x] = α (h) x, \forall h \in H} \neq 0.

这说明 $h$ 对 $x$ 的伴随作用相当于标量 $α (h)$ 对 $x$ 的数乘，即 $α (h)$ 为 $ad h$ 的一个特征值， $x$ 为对应的特征向量．这启示我们去寻找 $ad h$ 的特征向量，并由此确定特征值 $α (h)$ ．
对 $h = diag (h_{1}, h_{2}, h_{3})$ ，我们先求出其伴随表示限制在 $L$ 上的结果．为此，我们来对 $L$ 的生成元进行计算．
$L$ 的生成元分为非对角生成元 $e_{i j}$ （ $i \neq j$ ）及对角生成元 $e_{i i} - e_{j j}$ （ $i \neq j$ ）． $e_{i i} - e_{j j}$ 生成 $H$ ，故没有对应的根；对 $L$ 中的非对角生成元 $e_{i j}$ ，计算得

ad h (e_{i j}) = [h, e_{i j}] = h e_{i j} - e_{i j} h = (h_{i} - h_{j}) e_{i j} .

因此 $e_{i j}$ 是 $ad h$ 的一个特征向量，其对应的特征值为 $h_{i} - h_{j}$ ．如果记 $ε_{i j}$ 是 $e_{i j}$ 的对偶向量，这说明 $(ε_{i i} - ε_{j j}) (h)$ 是特征向量 $e_{i j}$ 对应的特征值，故 $ε_{i i} - ε_{j j}$ 是一个根．由正负根配对， $ε_{j j} - ε_{i i}$ 也是一个根．
以上就确定了 $6$ 个根： $ε_{i i} - ε_{j j}$ ， $i \neq j$ ．注意 $L$ 是 $8$ 维的， $H$ 是 $2$ 维的，每一个根空间 $L_{α}$ 都是 $1$ 维的，因此根空间分解

L = H \oplus ⨁_{i = 1}^{6} L_{α_{i}}

分解已完成，故 $L$ 的根系为 $Φ = {ε_{i i} - ε_{j j} : 1 \leq i \neq j \leq 3} .$ $◻$

上例中生成元是特征向量并非偶然．事实上，若 $s$ 为 $L$ 中半单元，则 $ad s$ 半单，其在 $L$ 的一组基下 $ad s$ 为对角阵，该对角阵各元素即是 $ad s$ 的特征值，这组基即是其特征向量．

另一方面，注意到极大环面子代数 $H$ 是 Abel 的，其上 $[x, y] = 0$ ；因此在 $L$ 中有

[{ad}_{L} x, {ad}_{L} y] = {ad}_{L} [x, y] = 0.

这说明 ${ad}_{L} x$ 与 ${ad}_{L} y$ 可换，线性代数的基础知识表明 $x, y$ 的伴随表示可同时对角化；进一步， $H$ 中全体元素的伴随表示可同时对角化．这说明可以取一组特征向量基 $e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}$ 张成整个空间 $L$ ，且 $e_{1}, \dots, e_{n}$ 的对偶基将 $h \in H$ 的伴随表示打到 $ad h$ 对特征向量 $e_{1}$ 的特征值．特哵地，如果把 $e_{1}, \dots, e_{n}$ 的对偶基记作 $e^{1}, \dots, e^{n}$ ，则

ad h (x) = diag (h_{1}, \dots, h_{n}) = h_{1} e^{1} (x) e_{1} + \dots + h_{n} e^{n} (x) e_{n}, e_{i} (h) = h_{i} .

这里将 $e_{i}$ 视作 $e_{i}$ 在 $H^{* *}$ 中的自然对应元素．
因此，对任意 $x \in F e_{i}$ ，都有

[h, x] = ad h (x) = h_{i} x = e_{i} (h) x .

由根的定义， $e_{i}$ 即为 $L$ 的一个根，且其对应的根空间为 $L_{e_{i}} = F e^{i}$ ．

例如，在上面 ${sl}_{3} (F)$ 的例子中，可以这样变为程序化的计算．考虑在 ${sl}_{3} (F)$ 的基在排列顺序

e_{11} - e_{22}, e_{11} - e_{33}, e_{12}, e_{13}, e_{23}, e_{21}, e_{31}, e_{32}

下，计算可得 $h = diag (h_{1}, h_{2}, h_{3})$ 的伴随表示矩阵为

ad h = diag (0, 0, h_{1} - h_{2}, h_{1} - h_{3}, h_{2} - h_{3}, h_{2} - h_{1}, h_{3} - h_{1}, h_{3} - h_{2}) .

则 $ad h$ 已被对角化， $ad h (x) = \sum_{1 \leq i \neq j \leq 3} (h_{i} - h_{j}) ε_{i j} (x) e_{i j}$ ．注意

(ε_{i j} \circ ad h) (e_{i j}) = h_{i} - h_{j}

定义 $α_{i} (h) := (ε_{i j} \circ ad h) (e_{i j})$ ，则 $α_{i}$ 就是根．将其展开即得．

总结一下，关于特定的极大环面子代数 $H$ ，计算其对应根系的程序是：

算法：给定极大环面子代数

H

，计算根系的保姆级算法

首先，对任意的 $h \in H$ ，其为半单元，因此其伴随表示也是半单的，故 $ad h$ 可对角化；由于 $H$ 是 Abel 代数，故对任意 $x, y \in H$ ， $x, y$ 的伴随表示是可换的，这就说明 $H$ 可在一组特征向量基下同时对角化．
对任意 $h \in H$ ，我们计算 $ad h$ 的特征值及特征向量．

首先求出 $ad h$ 的矩阵：设 $L$ 由基 $x_{1}, \dots, x_{n}$ 张成，在这一顺序下，计算矩阵元 $ad h = ([h, x_{1}], [h, x_{2}], \dots, [h, x_{n}]),$ 这里第 $i$ 项是在 $x_{1}, \dots, x_{n}$ 这组基下， $[h, x_{i}]$ 的坐标表示的列向量．
然后求 $ad h$ 的特征值．其特征值是其特征多项式 $φ_{ad h} (λ) = det (ad h - λ I_{n})$ 的根．
然后求 $ad h$ 的特征向量．对某特征值 $λ$ ，其对应特征向量是方程组

(ad h - λ I) v = 0

的一个解 $v$ ．注意由半单性，该方程组的基本解的维数与 $λ$ 的代数重数应当相同．
6. 将 $ad h$ 对角化：设这组基为 $e_{1}, \dots, e_{n}$ ，其列向量坐标排成矩阵 $P = (e_{1}, \dots, e_{n})$ ，则

ad h = P D P^{- 1},

$D$ 是对角阵， $D = diag (λ_{1}, \dots, λ_{n})$ ．
7. 因此，设 $e_{i}$ 在 $L^{*}$ 中的对偶基为 $e^{i}$ ，则线性变换 $ad h (x) = λ_{1} e^{1} (x) e_{1} + \dots + λ_{n} e^{n} (x) e_{n}$ ．对某一特定的特征向量 $e_{i}$ ，我们有

(e^{i} \circ ad h) (e_{i}) = λ_{i} e^{i} (e_{i}) = λ_{i} .

注意到 $H$ 中所有元素可同时对角化，所有的 $e_{i}$ 都分别对应相同，因此 $e^{i}$ 、 $e_{i}$ （二重对偶版）也分别对应相同，故线性泛函 $α_{i} (h) := (e^{i} \circ ad h) (e_{i})$ 是良定义的．
8. 因此，对 $x \in F e_{i}$ ， $[h, x] = α_{i} (h) x$ 对全体 $h \in H$ 成立，这就说明 $F e_{i}$ 为 $α_{i}$ 对应的根空间， $α_{i}$ 是一个根．
9. 最后，用 $L$ 的基凑出 $α_{i}$ 的形式即可．

注意

如果是可以自己选的话，一般将 $H$ 选为对角元张成的矩阵，因为对任意非对角基 $e_{i j}$ ，其均为对角元矩阵 $diag (h_{1}, \dots, h_{n})$ 的特征向量．确切地说，

diag (h_{1}, \dots, h_{n}) e_{i j} = h_{i} - h_{j} .

这样一来，就可以省去求特征向量的麻烦．

例子：

{sl}_{n} (F)

的根系

上面的例子中已经提到， ${sl}_{n} (F)$ 的一个极大环面子代数为其全体对角基生成的子代数：

H = {span}_{F} {e_{i i} - e_{j j} : 1 \leq i < j \leq n} = {\sum_{i = 1}^{n} a_{i} e_{i i} : \sum_{i = 1}^{n} a_{i} = 0} .

下面我们来计算根空间，由此来确定根．考虑到对任意 $h = diag (h_{1}, \dots, h_{n}) \in H$ ，容易验证

[h, e_{i j}] = (h_{i} - h_{j}) e_{i j} .

因此 $ad h$ 的特征向量为 $e_{i j}$ ， $i \neq j$ ，对应的特征值为 $h_{i} - h_{j}$ ．取 $α := ε_{i i} - ε_{j j}$ ，就有 $α (h) = h_{i} - h_{j}$ ，这里 $ε_{i j}$ 为 $e_{i j}$ 的对偶基．从而根系为 $Φ = {ε_{i i} - ε_{j j}, 1 \leq i \neq j \leq n}$ ．

Deepseek 生成的知识点总结

8.1 极大环面子代数与根（Maximal Toral Subalgebras and Roots）

8.2 H 的中心化子（Centralizer of H）

8.3 正交性质（Orthogonality Properties）

8.4 整性性质（Integrality Properties）

8.5 理性性质与总结（Rationality Properties. Summary）

总结

极大环面子代数与根

环面子代数（toral subalgebra）

根、根系与根空间分解（Cartan 分解）

极大环面子代数的性质

正交性（Orthogonality property）

整性 （Integrality properties）

有理性（Rationality property）

笔者注：根系的计算

Sl2

整性（Integrality properties）